Espace des suites de type fini

Introduction

L'espace des suites "de type fini" est l'espace : $${{{\Bbb K}^\infty}}={{\{(x_n)\mid x_n\in{\Bbb K},\exists n_0,\forall n\gt n_0,x_n=0\} }}$$
(Ensemble K, Suite convergente)

Propriétés

Dénombrabilité

${\Bbb K}^\infty$ est dénombrable car $${\Bbb K}^\infty=\bigcup^\infty_{n_0=0}K^\infty_{n_0}\quad\text{ avec }\quad K^\infty_{n_0}=\{(x_n)\mid x_m=0,m\gt n_0\}$$
(Ensemble dénombrable)

Montrer que $({\Bbb K}^\infty)^*$ n'est pas dénombrable

Base infinie $\to$ définition de $f$
${\Bbb K}^\infty$ contient une base standard infinie $e_i=(0,\ldots,0,\underbrace1_i,0\ldots,0)$
On pose $f(e_i)=a_i\in\{0,1\}$

"étendre" $f$ par linéarité
On obtient par linéarité une forme $f:{\Bbb K}^\infty\to{\Bbb R}$ telle que $$f(x)=\sum_{i\in{\Bbb N}}a_ix_i\quad\text{ avec }\quad x=(x_1,\ldots,x_n,0,\ldots)\in{\Bbb K}^\infty$$

Donc pour toute suite binaire $(a_1,\ldots,a_n,\ldots)$, on a une forme linéaire $f$

L'ensemble des suites binaires est non-dénombrable (avec le cardinal de ${\Bbb R}$, $\aleph$) car chaque nombre réel possède une écriture binaire
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\square$

(Base (algèbre linéaire), Fonction linéaire, Suite binaire, Cardinal - Cardinalité)

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